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多元线性回归模型（超详细适用条件检验、软件操作及结果解读）

2024-05-21

多元线性回归模型（超详细适用条件检验、软件操作及结果解读）

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原创SPSSAU

研究变量之间的影响关系时，首当其冲想到的就是回归分析。其中的多元线性回归分析凭借其成熟度和广泛应用性，占据了举足轻重的地位。然而，很多同学在理解和运用这一方法时，考虑的并不全面，尤其是该方法的前提条件、结果解读和软件操作等方面。鉴于此，SPSSAU将结合一个案例，对多元线性回归分析的整个流程进行深入探讨。

一、线性回归模型与检验

1 回归模型

线性回归可通过回归函数定量化地解释自变量X与因变量Y的关系，这种回归函数被称作线性回归模型，用样本数据估计所得的回归方程表达式如下：

β0为常数项，又称为截距；βi（i=1,2,...,p）表示在其他自变量Xi不变时指定的某个自变量X每变动一个单位时因变量Y的平均变化量；ε称为残差，是因变量真实取值与估计值之间的差值，是一个随机变量。

2 模型检验与评价

拟合线性回归模型后，要对模型总体拟合状况进行检验和评价，通过检验后方可用于影响因素分析或回归预测。线性回归模型的检验如下表所示：

（1）回归模型总体显著性检验

研究者采用F检验对回归模型总体是否显著(有统计学意义)进行检验。该检验原假设回归方程中至少有一个自变量的回归系数不为0，当F检验的p值小于0.05时说明模型显著，即至少有一个自变量对因变量的影响有统计学意义；反之，若p值大于0.05则说明模型不成立。

（2）回归系数显著性检验

回归方程总体显著，如果想进一步判断哪些自变量的回归系数是显著的，则需要进行t检验。如果回归系数t检验p值<0.05，则说明该变量回归系数不为0，其对因变量有显著影响；反之，若p值>0.05，则说明该自变量的回归系数为0，自变量的影响无统计学意义。

（3）回归模型拟合优度评价

拟合优度是指样本数据各点围绕回归直线的密集程度，用来评价回归模型的拟合质量。一般是用决定系数R^2为评价指标，R^2 接近1说明回归模型拟合优度良好，R^2接近0说明回归模型拟合优度差。R^2一般解释为回归模型对因变量Y总变异的解释力度，如R^2为 0.8，即回归模型可解释因变量Y总变异原因的 80%。R^2会随自变量的个数或样本量的增加而增大，为了消除这种影响，引进了调整后的R^2。

二、线性回归适用条件

线性回归对数据资料是有要求的，因变量必须是定量数据，自变量可以是定量数据也可以是定类数据。除此之外，线性回归的正确使用，还应满足以下的主要适用条件，如下表所示：

特别提示：当自变量为定类数据时，比如专业（共分为‘理科类’，‘工科类’和‘文科类’）通常需要进行哑变量处理，然后再进行回归分析等。

原因：自变量为定类数据时，不能得到X越如何，Y越如何的结论。进行虚拟变量设置后，定类数据的回归分析才有意义，比如得到“相对于文科类专业（数字0）；非文科类专业(1)工资越高”这样的结论。
参照项：专业为3类，进行哑变量处理后，在回归模型中，只能放入2个哑变量，因为需要留一个专业作为参照项。比如将文科类作为参照项，后续可以得到“相对于文科类专业，理科or工科类怎样怎样”的结论。并且从数学角度来讲，如果专业对应的3个虚拟变量都放入模型，一定会出现‘多重共线性问题’。

接下来，通过一个案例，介绍如何使用软件进行多元线性回归分析，以及适用条件检验、回归结果应该如何解读。

三、案例实战

线性回归分析一般分析步骤如下：

案例背景：拟建立以“年龄”“教育年限”“工龄”“现雇佣年”为自变量，“工资”为因变量的多元线性回归模型。

1 线性关系判断

多元线性回归分析要求自变量X与因变量Y之间存在线性关系，可以通过绘制散点图或者查看变量之间的相关系数的方式进行。

本案例使用散点图用于直观展示自变量X与因变量Y之间的关系情况，利用SPSSAU可视化->散点图进行分析，操作如下：

SPSSAU输出四个自变量与工资的散点图如下：

从散点图可以看出，“工资”与“年龄”和“教育年限”存在强线性相关关系，而与“工龄”和“现雇佣年”存在弱线性相关关系。

2 建立线性回归模型

本例考察的4个自变量均为定量数据，可直接进行线性回归分析。在仪表盘中依次单击【通用方法】→【线性回归】模块，将变量拖拽到对应分析框中，勾选【保存残差和预测值】复选框，操作如下图所示：

线性回归结果表格较多，包括线性回归分析结果、ANOVA 表格等，我们可以按步骤进行解读和分析。

3 回归模型检验与评价

（1）回归模型总体显著性检验

多个自变量与因变量这个整体的显著性检验，是使用F检验进行的，可以判断多元线性回归模型是否有意义。

分析结果见上表F检验结果，F=111.78，p<0.05，表明该线性回归模型总体上有统计学意义，即至少有一个X会对Y产生影响。

（2）回归系数显著性检验

回归系数显著性检验是指每个自变量对因变量影响的显著性检验，使用t检验进行。

上表中第 5、6 列为各自变量回归系数的t检验结果，从上表可以看出，年龄、教育年限对应t检验的p值均小于0.05，呈现出显著性特征。工龄、现雇佣年p值均大于0.05，所以本例考察的 4 个自变量，年龄、教育年限对工资有显著影响，而另外两个变量对工资无影响。

（3）回归模型拟合度评价

R方用于分析模型的拟合优度，又称决定系数。R方的值介于0~1之间，代表模型的拟合程度，一般认为越大越好。一元线性回归时以R方作为拟合优度评价指标，多元线性回归时则采用调整后的R方作为拟合优度评价指标。

本例调整后的R方为0.37，表示建立的回归模型可解释因变量工资总变异信息的 37%。R方越接近 1 越能说明模型的解释能力，不同行业及领域对R方的接受不尽相同，没有绝对的标准，可参考行业文献进行判断。

4 残差及共线性诊断

在分析前我们勾选了【保存残差和预测值】，SPSSAU自动保存名为“Regression_Prediction_XXXX”，即回归方程对现有数据的预测值（以下简称Prediction），和“Regression_Residual_XXXX”即本次回归的非标准化残差值（以下简称 Residual）。

（1）残差正态性检验

可通过残差直方图来判断残差的正态性，SPSSAU可视化->直方图，将【Residual】拖曳至右侧分析框中，得到残差直方图如下：

分析线性回归残差直方图可知，直方图呈现左右对称的形态，比较接近正态分布，认为其近似正态分布，残差满足正态分布的要求。

（2）残差等方差性检验

一般来说残差诊断的散点图，会将其预测值作为X轴，残差值作为Y轴，如果所有点均匀分布在直线Y=0的两侧，则可以认为满足方差齐性，散点图结果如下：

线性回归预测值与回归残差值散点图如上图所示。点的分布并不是随机的，随着回归预测值的增大，残差有“逐渐放大”的趋势，呈现开口向右的“喇叭状”形态，提示本次建立的线性回归模型残差不满足等方差性，存在残差异方差的问题，这对线性回归过程是不利的，影响结果的准确性，应当重视并想办法予以处理。

解决办法：常见的处理方式可先对回归分析的因变量进行对数函数的变换，再重新建立线性回归模型，由于篇幅限制本案例暂不演示（提示：若回归分析只是建立X与Y之间的关系，无须根据X预测Y值可信度等，则方差齐性和正态性可以适当放宽。）。

（3）残差独立性检验

残差独立性通常用D-W检验方法，如果 D-W 值在2附近（1.7～2.3），则说明残差独立。D-W 检验结果在线性回归中能自动计算并输出。

由线性回归结果可知，本例的D-W值为 1.847，在 1.7～2.3 范围内，认为残差独立。

（4）多重共线性检验

共线性是指在线性回归分析时，出现的自变量之间彼此相关的现象。使用SPSSAU进行多元线性回归时，分析结果会自动输出VIF值，用来判断是否存在共线性。一般VIF值大于10（严格大于5），则认为存在严重的共线性。有些文献也以容忍度作为判断共线性的指标，容忍度为VIF值的倒数，容忍度大于0.1则说明没有共线性(严格是大于0.2)。研究时二者选其一即可，一般描述VIF值。